Question

如圖，四棱錐P－ABCD的底面為一直角梯形，BA⊥AD，CD⊥AD，CD＝2AB，PA⊥底面ABCD，E為PC的中點．

(1)證明EB∥平面PAD．

(2)若PA＝AD，證明BE⊥平面PDC．

Answer 1

答案：
解析：

證明：如圖，建立空間直角坐標系， 　　設AB＝1，則CD＝2．設AD＝b，AP＝c． 　　(1)方法一：＝(－b，0，0)，＝(0，0，c)． 　　∵B(0，1，0)，E()， 　　∴＝()＝＋． 　　∴、、共面． 　　又AD∩AP＝A，BE平面PAD， 　　∴EB∥平面PAD． 　　方法二：∵＝()， 　　平面PAD的一個法向量為n＝(0，1，0)． 　　∴·n＝0．∴⊥n． 　　又BE平面PAD，∴BE∥平面PAD． 　　(2)方法一：∵PA＝AD，∴＝(b，0，b)． 　　又＝(0，2，0)，＝()， 　　∴·＝0，·＝0． 　　∴BE⊥DP，BE⊥DC． 　　∵DP∩DC＝D，∴BE⊥平面PDC． 　　方法二：設平面PCD的法向量為n1＝(x1，y1，z1)， 　　則 　　∵＝(0，2，0)，＝(b，0，b)， 　　∴令z1＝1，則x1＝－1． 　　∴n1＝(－1，0，1)． 　　又∵＝()， 　　∴＝n1，∴∥n1． 　　∴BE⊥平面PDC．

提示：

根據圖形特點，建立空間直角坐標系，利用向量知識解決問題．關鍵是把其中各個點的坐標寫準確．