Question

【題目】在直角坐標系中，直線的參數方程為（為參數），在以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸的極坐標系中，曲線的方程為.

（1）求曲線的直角坐標方程；

（2）設曲線與直線交于點，點的坐標為（3，1），求.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

利用極坐標與直角坐標的互化公式:即可求解;

聯立直線的方程和曲線的方程,整理化簡得到關于的一元二次方程,由題知點在直線上,利用參數方程中參數的幾何意義及一元二次方程中的韋達定理即可求出的值.

因為曲線的方程，

∴，

∴，

化簡得,曲線的直角坐標方程為：.

（2）把直線代入曲線得，

整理得，.

∵，所以方程有兩個不等實根，

設為方程的兩個實數根，由韋達定理可得,

，，∴為異號，

又∵點（3，1）在直線上，由參數方程中參數的幾何意義可得,

.

所以.