Question

有下列命題：
①在函數y=cos（x-）cos（x+）的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為π；
②函數y=的圖象關于點（-1，1）對稱；
③關于x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，則實數a=-1；
④已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1；
⑤在△ABC中，若3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，則角C等于30°或150°．
其中所有真命題的序號是________．

Answer 1

③④
分析：①將函數y=cos（x-）cos（x+）的化為y=cos2x，利用其周期判斷即可；
②將函數y=轉化為y=1+，可知其對稱中心為（1，1）；
③對a分a=0與a≠0討論即可；
④利用全稱命題的否定是特稱命題，注意量詞的轉化與結論的變化即可；
⑤利用兩角和的正弦公式與誘導公式可求得sinC=，再排除C=150°即可判斷其正誤．
解答：∵=cos（x-）cos（x+）
=cos（-x）sin[-（x+）]
=cos（-x）sin（-x）
=sin（-2x）
=cos2x，
∴其周期T=π，又相鄰兩個對稱中心的距離為=，
故①錯誤；
對于②，∵函數y==1+，
∴其對稱中心為（1，1），而非（-1，1），
故②錯誤；
對于③，∵x的方程ax²-2ax-1=0有且僅有一個實數根，
∴當a=0時，方程無解，故舍去；
當a≠0時，方程ax²-2ax-1=0為一元二次方程，有且僅有一個實數根?△=4a²+4a=0，
∴a=-1．
故③正確；
對于④，已知命題p：對任意的x∈R，都有sinx≤1，則￢p是：存在x∈R，使得sinx＞1，正確；
對于⑤，∵在△ABC中，若3sinA+4cosB=6（1），4sinB+3cosA=1（2），
∴（1）²+（2）²得：9+16+24sin（A+B）=37，
∴24sin（A+B）=12，sin（A+B）=，又A+B+C=π，
∴sinC=，又0°＜C＜180°，
∴C等于30°或150°．
若C=150°，則0°＜A＜30°，0°＜B＜30°，
∴4sinB+3cosA＞0+3cos30°=＞1，與已知4sinB+3cosA=1矛盾，
∴C≠150°，故⑤錯誤．
綜上所述，只有③④正確．
故答案為：③④．
點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的對稱性，命題的否定及三角函數公式的應用，考查分析與綜合運用知識解決問題的能力，屬于中檔題．