Question

有下列命題：
①如果冪函數f （x）=（m²-3m+3）xm2-m-1的圖象不過原點，則m=l或2；
②數列{a_n}為等比數列的充要條件為a_n=a₁q^n-1（q為常數）：
③已知向量

a

=（t，2），

b

=（-3，6），若向量

a

與

b

的夾角為銳角，則實數t的取值范圍是t＜4； 
④函數f （x）=xsinx在（0，π）上有最大值，沒有最小值．
其中正確命題的個數為（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：①冪函數的圖象不過原點，所以冪指數小于0，系數為1，求解即可．
②根據等比數列的性質可知若數列{a_n}為等比數列，可以推出a_n=a₁q^n-1，反之可以利用特殊值法進行判斷；
③已知向量

a

=（t，2），

b

=（-3，6），根據公式cosθ=

a • b

| a |•| b |

利用此信息進行求解；
④求出其導數，在（0，π）上通過研究單調性的變化即可獲得問題的解答；

解答：解：①冪函數y=（m²-3m+3）xm2-m-1的圖象不過原點，所以

m2-m-1＜0 m2-3m+3=1

解得m=1，符合題意．故①錯誤；
②若數列{a_n}為等比數列可以推出a_n=a₁q^n-1；若a_n=a₁q^n-1，取q=0，可得a_n=0，故②錯誤；
③向量

a

=（t，2），

b

=（-3，6），若向量

a

與

b

的夾角為銳角，設為θ，cosθ=

a • b

| a |•| b |

＞0，即-3t+12＞0解得t＜4，
首先若

a

=λ

b

可以推出兩個向量共線，此時（t，2）=λ（-3，6），可得t=-1，
∴t≠-1，故t＜4且t≠-1；
故③錯誤；
④由題意可知：f′（x）=sinx+xcosx．
當x∈（0，

π

2

），可得f′（x）＞0，x∈（

π

2

，π），可得f′（x）＜0，
函數在[0，

π

2

]上單調遞增，同上可知函數在（0，π）上為先增后減的函數，又所給區間為開區間，
∴函數f （x）=xsinx在（0，π）上有最大值，沒有最小值．
故④正確；
故選B；

點評：本題考查的是函數的性質分析問題．在解答的過程當中成分體現了導數的知識、函數最值的知識、向量的內積．值得同學們體會和反思．