Question

已知數列{a_n}：a₁，a₂，a₃，…，a_n，如果數列{b_n}：b₁，b₂，b₃，…，b_n滿足b₁＝a_n，b_k＝a_k－1＋a_k－b_k－1，其中k＝2,3，…，n，則稱{b_n}為{a_n}的“衍生數列”．若數列{a_n}：a₁，a₂，a₃，a₄的“衍生數列”是5，－2,7,2，則{a_n}為________；若n為偶數，且{a_n}的“衍生數列”是{b_n}，則{b_n}的“衍生數列”是________．

Answer 1

2,1,4,5　{a_n}

由b₁＝a_n，b_k＝a_k－1＋a_k－b_k－1，k＝2,3，…，n可得，a₄＝5,2＝a₃＋a₄－7，解得a₃＝4.又7＝a₂＋a₃－(－2)，解得a₂＝1.由－2＝a₁＋a₂－5，解得a₁＝2，所以數列{a_n}為2,1,4,5.
由已知，b₁＝a₁－(a₁－a_n)，b₂＝a₁＋a₂－b₁＝a₂＋(a₁－a_n)，….
因為n是偶數，所以b_n＝a_n＋(－1)ⁿ(a₁－a_n)＝a₁.設{b_n}的“衍生數列”為{c_n}，則c_i＝b_i＋(－1)ⁱ(b₁－b_n)＝a_i＋(－1)ⁱ·(a₁－a_n)＋(－1)ⁱ(b₁－b_n)＝a_i＋(－1)ⁱ(a₁－a_n)＋(－1)ⁱ·(a_n－a₁)＝a_i，其中i＝1,2,3，…，n.則{b_n}的“衍生數列”是{a_n}．