Question

【題目】在平面直角坐標系xOy中，橢圓的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F，且點F滿足，由橢圓C的四個頂點圍成的四邊形面積為．過點的直線TA，TB與此橢圓分別交于點，，其中，，．

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）當T在直線時，直線MN是否過x軸上的一定點？若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）直線MN必過x軸上一定點．

【解析】

（1）根據題意求出的值，得到橢圓方程.

（2）計算和的直線方程，聯立方程計算坐標，討論和兩種情況，計算得到答案.

（1）由知，，

由橢圓C的四個頂點圍成的四邊形面積為，

又有，解得，，所以橢圓C的標準方程為．

（2）可知，直線AT的方程為，直線BT的方程為．

點滿足，故，．

點滿足，故，．

若，則且，得，

此時直線MN的方程為，過點；

若，則，

直線MD的斜率，

直線MD的斜率為，

所在，所以直線MN過點，

因此直線MN必過x軸上一定點．