Question

（本題滿分14分）

         如圖，已知直三棱柱ABC—A₁B₁C₁，，E是棱CC₁上動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)是AB中點(diǎn)，

   （1）求證：；

   （2）當(dāng)E是棱CC₁中點(diǎn)時(shí)，求證：CF//平面AEB₁；

   （3）在棱CC₁上是否存在點(diǎn)E，使得二面角A—EB₁—B的大小是45°，若存在，求CE的長，若不存在，請(qǐng)說明理由。

Answer 1

（1）見解析（2）見解析（3）

解析:

（1）證明：三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直棱柱，

         平面ABC   1分

         °，AC=BC=2，F(xiàn)是AB中點(diǎn)

           2分

         又      3分

         平面ABB。  4分

   （2）證明：取AB₁的中點(diǎn)G，聯(lián)結(jié)EG，F(xiàn)G

         分別是棱AB、AB₁中點(diǎn)，

        

         又

         四邊形FGEC是平行四邊形，6分www

           7分

         平面AEB₁，平面AEB₁     8分

         平面AEB₁。 9分

   （3）解：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA，CB，CC₁為軸正半軸，

         建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系

         則C（0，0，0），A（2，0，0），B₁（0，2，4） 10分

         設(shè)，平面AEB₁的法向量

         則

         且

         于是

         所以

         取 12分www

         三棱柱ABC—A₁B₁C₁是直棱柱，

         平面ABC，

         又平面ABC

        

        

        

        

         平面ECBB₁   

         是平面EBB₁的法向量，

        

         二面角A—EB₁—B的大小是45°，

         則 13分

         解得

         在棱CC₁上存在點(diǎn)E，使得二面角A—EB₁—B的大小是45°。

         此時(shí)   14分