【題目】已知橢圓C：
（
）的左、右焦點分別為
，
，離心率
，點
在橢圓C上，直線l過交橢圓于A，B兩點.
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當
時，點A在x軸上方時，求點A，B的坐標；
（3）若直線
交y軸于點M，直線
交y軸于點N，是否存在直線l，使得
與
的面積滿足
，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
；（2）
，
；（3）存在，
或
【解析】
（1）由
和點
在橢圓上結合
可求出橢圓的方程.
（2）設
，
，則
，結合點A在橢圓上可求出A點坐標，然后可得直線AB的方程，再與橢圓聯立可求出B點坐標.
（3）設，
，
，
，設直線l：
，
，
.由
建立關于
的方程從而求解.
解：（1）由題意可知，
，，又
，
聯立方程組可解得：
，
，
所以橢圓C的方程為.
（2）設，依題意，
，
，
，即
，
，
又A在橢圓上，滿足
，即
，
，解得
，即，
直線AB：
，
聯立
，解得.
（3）設，，，，
直線l：（斜率不存在時不滿足題意），
則，
.
聯立
，得
.
則
，
.
由直線
的方程：
，得M縱坐標
.
由直線
的方程：
，得N縱坐標
，
由，得
.
所以
，
，
，
代入根與系數的關系式，得
，解得
.
存在直線或滿足題意.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某網絡平臺從購買該平臺某課程的客戶中，隨機抽取了100位客戶的數據，并將這100個數據按學時數，客戶性別等進行統計，整理得到如表：
學時數 |
|
|
|
|
|
|
|
男性 | 18 | 12 | 9 | 9 | 6 | 4 | 2 |
女性 | 2 | 4 | 8 | 2 | 7 | 13 | 4 |
（1）根據上表估計男性客戶購買該課程學時數的平均值（同一組中的數據用該組區間的中點值作代表，結果保留小數點后兩位）；
（2）從這100位客戶中，對購買該課程學時數在20以下的女性客戶按照分層抽樣的方式隨機抽取7人，再從這7人中隨機抽取2人，求這2人購買的學時數都不低于15的概率．
（3）將購買該課程達到25學時及以上者視為“十分愛好該課程者”，25學時以下者視，為“非十分愛好該課程者”．請根據已知條件完成以下
列聯表，并判斷是否有99．9%的把握認為“十分愛好該課程者”與性別有關？
非十分愛好該課程者 | 十分愛好該課程者 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 | 100 |
附：
，
| 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐
的底面
為直角梯形，
，且
，
，
，平面
底面，
為
的中點，
為等邊三角形，
是棱
上的一點，設
（與
不重合）.
（1）若
平面
，求
的值；
（2）當
時，求二面角
的大小.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，
，M是線段EF的中點，二面角
的大小為60°.
（1）求證：
平面BDE；
（2）試在線段AC上找一點P，使得PF與CD所成的角是60°.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
的內角
、
、
的對邊分別為
、
、
，
為內一點，若分別滿足下列四個條件：
①
；
②
；
③
；
④
；
則點分別為的（ ）
A.外心、內心、垂心、重心B.內心、外心、垂心、重心
C.垂心、內心、重心、外心D.內心、垂心、外心、重心
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，兩鐵路線垂直相交于站
，若已知
千米，甲火車從站出發，沿
方向以
千米
小時的速度行駛，同時乙火車從
站出發，沿
方向，以
千米小時的速度行駛，至站即停止前行（甲車扔繼續行駛）（兩車的車長忽略不計）.
（1）求甲、乙兩車的最近距離（用含的式子表示）；
（2）若甲、乙兩車開始行駛到甲，乙兩車相距最近時所用時間為
小時，問為何值時最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系
中，以坐標原點
務極點，
軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
，
(1)求曲線
，
的直角坐標方程；
(2)曲線和的交點為
，
，求以
為直徑的圓與
軸的交點坐標．
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