Question

【題目】冠狀病毒是一個大型病毒家族，已知可引起感冒以及中東呼吸綜合征(MERS)和嚴重急性呼吸綜合征(SARS)等較嚴重疾病.而今年出現在湖北武漢的新型冠狀病毒(nCoV)是以前從未在人體中發現的冠狀病毒新毒株.人感染了新型冠狀病毒后常見體征有呼吸道癥狀發熱咳嗽氣促和呼吸困難等.在較嚴重病例中，感染可導致肺炎嚴重急性呼吸綜合征腎衰竭，甚至死亡.某醫院為篩查冠狀病毒，需要檢驗血液是否為陽性，現有份血液樣本，有以下兩種檢驗方式：

方式一：逐份檢驗，則需要檢驗n次.

方式二：混合檢驗，將其中且k≥2)份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗.若檢驗結果為陰性，這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只要檢驗一次就夠了，如果檢驗結果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪幾份為陽性，就要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數總共為k+1.

假設在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結果是陽性還是陰性都是獨立的，且每份樣本是陽性結果的概率為p(0<p<1).現取其中且k≥2)份血液樣本，記采用逐份檢驗，方式，樣本需要檢驗的總次數為，采用混合檢驗方式，樣本需要檢驗的總次數為.

（1）若，試求p關于k的函數關系式p=f(k).

（2）若p與干擾素計量相關，其中2)是不同的正實數，滿足x1=1且.

(i)求證：數列為等比數列；

(ii)當時采用混合檢驗方式可以使得樣本需要檢驗的總次數的期望值比逐份檢驗的總次數的期望值更少，求k的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）(i)證明見解析；(ii)4

【解析】

（1）由題意分析可得,的可能取值為1,,即可求得,再由求解即可；

（2）(i)整理可得,即,可解得,即可得證；

(ii)由(i),由于,則,整理可得,設,利用導函數判斷的單調性,再根據即可求解.

（1）由已知得,的可能取值為1,,

所以,,

所以,

因為,即,

所以,

所以

（2）(i)證明:因為,

所以,

所以,

所以或（舍去）,

所以是以1為首項,以為公比的等比數列.

(ii)由(i)可知,則,即,

由題意可知,則有,

整理得,

設,則,

當時,；當時,,

故在上單調遞增,在上單調遞減,

又,,

所以的最大值為4.