Question

如圖所示,在四棱錐P-ABCD中,PC⊥平面ABCD,PC=2,在四邊形ABCD中,∠B=∠C=90°,AB=4,CD=1,點M在PB上,PB=4PM,PB與平面ABCD成30°的角.

求證:(1)CM∥平面PAD.
(2)平面PAB⊥平面PAD.

Answer 1

見解析

建立空間直角坐標系.(1)可證明與平面PAD的法向量垂直;也可將分解為平面PAD內的兩個向量的線性組合,利用共面向量定理證明.
(2)取AP中點E,利用向量證明BE⊥平面PAD即可.
【證明】由題意可知:
以C為坐標原點,CB所在直線為x軸,CD所在直線為y軸,CP所在直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系Cxyz.

∵PC⊥平面ABCD,
∴∠PBC為PB與平面ABCD所成的角,
∴∠PBC=30°.
∵PC=2,∴BC=2,PB=4.
∴D(0,1,0),B(2,0,0),
A(2,4,0),P(0,0,2),M(,0,),
∴=(0,-1,2),=(2,3,0),
=(,0,).
(1)方法一:令n=(x,y,z)為平面PAD的一個法向量,則
即∴
令y=2,得n=(-,2,1).
∵n·=-×+2×0+1×=0,
∴n⊥.又CM?平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
方法二:∵=(0,1,-2),=(2,4,-2),
假設∥平面PAD,
則存在x₀,y₀使=x₀+y₀,則
方程組的解為
∴=-+.
由共面向量定理知與,共面,故假設成立.
又∵CM?平面PAD,
∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中點E,連接BE,則E(,2,1),
=(-,2,1).
易知PB=AB,∴BE⊥PA.
又∵·=(-,2,1)·(2,3,0)=0,
∴⊥,∴BE⊥DA.又PA∩DA=A,
∴BE⊥平面PAD.
又∵BE?平面PAB,
∴平面PAB⊥平面PAD.