Question

如圖，已知三棱錐O－ABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=2，OB=3，OC=4，E是OC的中點．

（1）求異面直線BE與AC所成角的余弦值；
（2）求二面角A－BE－C的余弦值．

Answer 1

（I）．（II）．

試題分析：（I）以O(shè)為原點，OB，OC，OA分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系．
則有A（0，0，2），B（3，0，0），C（0，4，0），E（0，2，0）．
 
所以，cos<>．         
由于異面直線BE與AC所成的角是銳角，
所以，異面直線BE與AC所成角的余弦值是．   
（II），，
設(shè)平面ABE的法向量為，
則由，，得，
取，
又因為
所以平面BEC的一個法向量為n₂＝（0，0，1），
所以．
由于二面角A－BE－C的平面角是n₁與n₂的夾角的補角，
所以，二面角A－BE－C的余弦值是．
點評：典型題，立體幾何題，是高考必考內(nèi)容，往往涉及垂直關(guān)系、平行關(guān)系、角、距離、體積的計算。在計算問題中，有“幾何法”和“向量法”。利用幾何法，要遵循“一作、二證、三計算”的步驟，應(yīng)用空間向量，使問題解答得以簡化。本解答利用了“向量法”，簡化了證明過程，實現(xiàn)了“以算代證”。