Question

設(shè)函數(shù)f(x)=

( 1 2 )x-1，x≥0 x2，x＜0

與函數(shù)g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱，則當x＞0時，g（x）=

 

．

Answer 1

分析：由已知條件f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱可知，f（x）與g（x）互為反函數(shù)．根據(jù)互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間的關(guān)系可知，互為反函數(shù)的兩個函數(shù)定義域和值域互換．由函數(shù)g（x）中，x＞0可知函數(shù)f（x）的值域為f（x）＞0，又函數(shù)f（x）為分段函數(shù)，考查兩段的表達式可知當x＜0時，f（x）=x² 與當x＞0時的函數(shù)g（x）互為反函數(shù)．

解答：解：∵f（x）與g（x）的圖象關(guān)于直線y=x對稱    
∴f（x）與g（x）互為反函數(shù)
  又∵①當x≥0時，f（x）=（

1

2

）^x-1，f（x）≤0
     ②當x＜0時，f（x）=x²，f（x）＞0
  根據(jù)互為反函數(shù)的兩函數(shù)定義域與值域的關(guān)系，可知②復(fù)合題意
  又 f（x）=x²，x＜0的反函數(shù)為f^-1（x）=-

x

，（x＞0）
  所以當x＞0時，g（x）=-

x

  故答案為：-

x

．

點評：本題考查互為反函數(shù)的兩個函數(shù)之間定義域與值域之間的關(guān)系及分段函數(shù)反函數(shù)的求法．求分段函數(shù)的反函數(shù)，應(yīng)先求各區(qū)間上的定義域及反函數(shù)，然后合并成一個函數(shù)．要注意分段函數(shù)的反函數(shù)仍為分段函數(shù)．