Question

（2012•淮北一模）設函數f(x)=

1+x

1-x

e-ax
（1）寫出定義域及f′（x）的解析式，
（2）設a＞O，討論函數y=f（x）的單調性．

Answer 1

分析：（1）根據分母不能為0，求出f（x）的定義域，根據求導的乘法法則，對f（x）進行求導；
（2）已知a＞0，利用導數研究函數的單調性，先令f′（x）=0．，求出極值點，從而求解；

解答：解：（1）∵函數f(x)=

1+x

1-x

e-ax
∴1-x≠0，∴x≠1，
∴f（x）的定義域為（-∞，1）∪（1，+∞），
∴f′（x）=e^-ax（-a）×

1+x

1-x

+

1-x-(1+x)×(-1)

(1-x)2

×e^-ax=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax（3分）；
（2）∵a＞O，f（x）=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax
①當0＜a≤2時，f'（x）≥0，所以，f（x）在（-∞，1），（1，+∞）上為增函數     （5分）
②當a＞2，由f′（x）=

ax2+2-a

(1-x)2

e-ax＞0，得ax²+2-a＞0，
解得，x＞

a-2 a

或x＜-

a-2 a

此f（x）在 x＞

a-2 a

或x＜-

a-2 a

上為增函數；
在(-

a-2 a

，

a-2 a

)上有f′（x）＜0為減函數（12分）
∴綜上①②可得：
f（x）在（-∞，

a-2 a

），（

a-2 a

，1），（1，+∞）上為增函數，
在(-

a-2 a

，

a-2 a

)上是減函數（12分）．

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，解此題的關鍵是對f（x）要正確求導，f（x）的表達式比較復雜，注意計算時要仔細，此題是一道基礎題．