Question

已知關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0，求：
（1）當a∈{-2，-1，0，1，2}，b∈{0，1，2，3}時，方程x²+2ax+b²=0有實根的概率；
（2）當a∈[0，2]，b∈[0，3]時，方程x²+2ax+b²=0有實根的概率．

Answer 1

分析：首先分析一元二次方程有實根的條件，得到a²≥b²．
（1）本題是一個古典概型，試驗發生包含的基本事件可以通過列舉得到結果數，滿足條件的事件在前面列舉的基礎上得到結果數，求得概率．
（2）本題是一個幾何概型，試驗的全部結束所構成的區域為{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，滿足條件的構成事件A的區域為{（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≥b}，根據概率等于面積之比，得到概率．

解答：解：方程有實根時，△=（2a）²-4b²≥0，即a²≥b²．記方程x²+2ax+b²=0有實根的事件為A．
（1）當a∈{-2，-1，0，1，2}，b∈{0，1，2，3}時，a與b的所有組合為（第一個數為a的值，第二個數為b的值）：
（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-2，3），（-1，0），（-1，1），（-1，2），（-1，3），（0，0），（0，1），（0，2），（0，3），（1，0），（1，1），（1，2），（1，3），（2，0），（2，1），（2，2），（2，3），共20組，即基本事件有20個，由于a在{-2，-1，0，1，2}里取是隨機的，b在{0，1，2，3}里取是隨機的，所以上述20個事件是等可能性的．
又因為滿足條件a²≥b²的有：（-2，0），（-2，1），（-2，2），（-1，0），（-1，1），（0，0），（1，0），（1，1），（2，0），（2，1），（2，2）共11個，即事件A包含了11個基本事件，
所以P（A）=

11

20

，
所以，方程x²+2ax+b²=0有實根的概率為

11

20

．
（2）設點M的坐標為（a，b），由于a∈[0，2]，b∈[0，3]，所以，所有的點M對構成坐標平面上一個區域（如圖6中的矩形OABC），即所有的基本事件構成坐標平面上的區域OABC，其面積為2×3=6．
由于a在[0，2]上隨機抽取，b在[0，3]上隨機抽取，
所以，組成區域ABCD的所有基本事件是等可能性的．
又由于滿足條件0≤a≤2，且0≤b≤3，且a²≥b²，即a≥b的平面區域如圖6中陰影部分所示，其面積為

1

2

×2×2=2，
所以，事件A組成平面區域的面積為4，所以P（A）=

2

6

=

1

3

．
所以，方程x²+2ax+b²=0有實根的概率為

1

3

．

點評：本題考查古典概型及其概率公式，考查幾何概型及其概率公式，本題把兩種概率放在一個題目中進行對比，得到兩種概率的共同之處和不同點．