Question

已知關于x的一元二次函數f（x）=ax²-4bx+1．
（1）設集合P={1，2，3}和Q={-1，1，2，3，4}，分別從集合P和Q中隨機取一個數作為a和b，求函數y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率；
（2）設點（a，b）是區域

x+y-8≤0 x＞0 y＞0

內的隨機點，求y=f（x）在區間[1，+∞）上是增函數的概率．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，試驗發生包含的事件是3×5，滿足條件的事件是函數f（x）=ax²-4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，根據二次函數的對稱軸，寫出滿足條件的結果，得到概率．
（2）本題是一個等可能事件的概率問題，根據第一問做出的函數是增函數，得到試驗發生包含的事件對應的區域和滿足條件的事件對應的區域，做出面積，得到結果．

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
∵試驗發生包含的事件是3×5=15，
函數f（x）=ax²-4bx+1的圖象的對稱軸為x=

2b

a

，
要使f（x）=ax²-4bx+1在區間[1，+∞）上為增函數，
當且僅當a＞0且

2b

a

≤1，即2b≤a
若a=1則b=-1，若a=2則b=-1，1；若a=3則b=-1，1；
∴事件包含基本事件的個數是1+2+2=5
∴所求事件的概率為

5

15

=

1

3

．

（2）由（Ⅰ）知當且僅當2b≤a且a＞0時，
函數f（x）=ax²-4bx+1在區是間[1，+∞）上為增函數，
依條件可知試驗的全部結果所構成的區域為{(a，b)|

a+b-8≤0 a＞0 b＞0

}
構成所求事件的區域為三角形部分
由

a+b-8=0 b= a 2

得交點坐標為(

16

3

，

8

3

)，
∴所求事件的概率為P=

1 2 ×8× 8 3

1 2 ×8×8

=

1

3

．

點評：古典概型和幾何概型是我們學習的兩大概型，古典概型要求能夠列舉出所有事件和發生事件的個數，而不能列舉的就是幾何概型，幾何概型的概率的值是通過長度、面積、和體積、的比值得到．