Question

已知雙曲線x²－＝1.
 
(1)若一橢圓與該雙曲線共焦點，且有一交點P(2,3)，求橢圓方程．
(2)設(1)中橢圓的左、右頂點分別為A、B，右焦點為F，直線l為橢圓的右準線，N為l上的一動點，且在x軸上方，直線AN與橢圓交于點M.若AM＝MN，求∠AMB的余弦值；
(3)設過A、F、N三點的圓與y軸交于P、Q兩點，當線段PQ的中點為(0,9)時，求這個圓的方程．

Answer 1

（1）＝1（2）－（3）x²＋y²＋2x－18y－8＝0

(1)∵雙曲線焦點為(±2,0)，設橢圓方程為＝1(a＞b＞0)．
則∴a²＝16，b²＝12.故橢圓方程為＝1.
(2)由已知，A(－4,0)，B(4,0)，F(2,0)，直線l的方程為x＝8.
設N(8，t)(t＞0)．∵AM＝MN，∴M.
由點M在橢圓上，得t＝6.
故所求的點M的坐標為M(2,3)．
所以＝(－6，－3)，＝(2，－3)，·＝－12＋9＝－3.
cos∠AMB＝＝＝－.
(3)設圓的方程為x²＋y²＋Dx＋Ey＋F＝0，將A、F、N三點坐標代入，得
得
圓的方程為x²＋y²＋2x－y－8＝0，令x＝0，得y²－y－8＝0.
設P(0，y₁)，Q(0，y₂)，則y_1,2＝.
由線段PQ的中點為(0,9)，得y₁＋y₂＝18，t＋＝18，
此時，所求圓的方程為x²＋y²＋2x－18y－8＝0