Question

動圓與定圓內切，與定圓外切，A點坐標為（1）求動圓的圓心的軌跡方程和離心率；（2）若軌跡上的兩點滿足，求的值.

Answer 1

（1），離心率為；（2）.

本試題主要是考查了運用定義法求解軌跡方程以及直線與圓錐曲線的位置關系的綜合運用。
（1）利用圓與圓的位置關系，結合圓心距和半徑的關系，得到動點的軌跡滿足橢圓的定義，然后結合定義得到軌跡方程。
（2）設出直線方程與橢圓方程聯立方程組，然后結合韋達定理和向量的關系式的，到坐標關系，進而化簡得到點的坐標。
（1）如圖，設動圓C的半徑為R，

則，①      
，②
①+②得，
由橢圓的定義知點的軌跡是以為焦點，長軸長為的橢圓，其軌跡方程為，離心率為……………………………………………………………………6分
（2）設
由可得
所以③…………………………………9分
由是橢圓上的兩點，得
，由④、⑤得
將代入③，得，將代入④，得所以，
所以.…………………………………………13分