Question

已知橢圓的左焦點(diǎn)為,左、右頂點(diǎn)分別為,過點(diǎn)且傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn),橢圓的離心率為,．
（1）求橢圓的方程；
（2）若是橢圓上不同兩點(diǎn)，軸，圓過點(diǎn)，且橢圓上任意一點(diǎn)都不在圓內(nèi)，則稱圓為該橢圓的內(nèi)切圓．問橢圓是否存在過點(diǎn)的內(nèi)切圓？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

（1）；（2）存在

試題分析：（1）由離心率為，傾斜角為的直線交橢圓于兩點(diǎn)，.通過聯(lián)立直線方程與橢圓的方程，可求得的值.即可得結(jié)論.
（2）依題意可得符合要求的圓E，即為過點(diǎn), 的三角形的外接圓.所以圓心在x軸上.根據(jù)題意寫出圓E的方程.由于圓的存在必須要符合，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值是，結(jié)合圖形可得圓心E在線段上，半徑最小.又由于點(diǎn)F已知，即可求得結(jié)論.
試題解析：（1）因?yàn)殡x心率為，所以，
所以橢圓方程可化為：，直線的方程為，      2分
由方程組，得：,即, 4分
設(shè)，則，               5分
又，
所以，所以，橢圓方程是；      7分
（2）由橢圓的對稱性，可以設(shè)，點(diǎn)在軸上，設(shè)點(diǎn)，
則圓的方程為，
由內(nèi)切圓定義知道，橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)距離的最小值是，
設(shè)點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，則, 9分
當(dāng)時(shí)，最小，所以①              10分
又圓過點(diǎn)，所以②              11分
點(diǎn)在橢圓上，所以③                     12分
由①②③解得：或，
又時(shí)，，不合，
綜上：橢圓存在符合條件的內(nèi)切圓，點(diǎn)的坐標(biāo)是．        13分