Question

如圖所示，在邊長為12的正方形ADD₁A₁中，點B，C在線段AD上，且AB=3，BC=4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點B₁，P，作CC₁∥AA₁，分別交A₁D₁，AD₁于點C₁，Q，將該正方形沿BB₁，CC₁折疊，使得DD₁與AA₁重合，構成如圖2所示的三棱柱ABC-A₁B₁C₁．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC₁B₁；
（Ⅱ）求四棱錐A-BCQP的體積。

Answer 1

（Ⅰ）證明：在正方形中，因為CD=AD-AB-BC=5，
所以三棱柱的底面三角形ABC的邊AC=5，
因為AB=3，BC=4，所以，，所以，AB⊥BC，
因為四邊形為正方形，，所以，
而，
所以，AB⊥平面．
（Ⅱ）解：因為AB⊥平面，
所以，AB為四棱錐A-BCQP的高，
因為四邊形BCQP為直角梯形，且BP=AB=3，CQ=AB+BC=7，
所以，梯形BCQP的面積為，
所以，四棱錐A-BCQP的體積。