Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若函數在點處的切線的斜率為，證明：當時，.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）求得函數的定義域以及導數，分、、三種情況討論，分析導數的符號變化，由此可得出函數的單調遞增區間和遞減區間；

（2）由已知條件求得，可得，由得出，令，利用導數求得函數在上的最小值，由此可證得結論.

（1）函數的定義域為，

.

，令得或.

①當時，即當時，

令，得；令，得或.

此時，函數單調遞減區間為，單調遞增區間為和；

②當時，即當時，對任意的，，

此時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

③當時，即當時.

令，得；令，得或.

此時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和.

綜上所述，當時，函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為和；

當時，函數的單調遞增區間為，無單調遞減區間；

當時，函數單調遞減區間為，單調遞增區間為和；

（2）由已知條件得，解得，

所以，，

要證即證，

令，其中，

則，令，其中，

當時，，

所以，函數在區間上單調遞增，

，當時，，此時，函數單調遞減；

當時，，此時，函數單調遞增.

所以，當時，函數取得最小值，即.

因此，對任意的，.