Question

已知O為平面內一定點，設條件p：動點M滿足

OM

=

OA

+λ（

AB

+

AC

），λ∈R；條件q：點M的軌跡通過△ABC的重心．則條件p是條件q的（　　）

• A、充要條件
• B、充分不必要條件
• C、必要不充分條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：

AB

+

AC

由向量的運算可知為以AB和AC為鄰邊的平行四邊形的對角線，△ABC的重心為中線的焦點，條件p是否能推出條件q，即看M點是否在△ABC的中線上．

解答：解：條件p：動點M滿足

OM

=

OA

+λ（

AB

+

AC

），設BC的中點為D，
則有

AM

=2λ

AD

，故

AM

和

AD

共線，所以A、M、D三點共線，
即點M在△ABC的中線AD上，故點M的軌跡通過△ABC的重心．即p?q；
反之，若點M的軌跡通過△ABC的重心，設△ABC的重心為G，
如M的軌跡為線段BG，當M在點B時，不存在λ使

OB

=

OA

+λ(

AB

+

AC

)成立．
故選B

點評：本題考查充要條件的判斷、向量的運算等知識點，需要較強的綜合能力，有一定的難度．