Question

（08年湖北卷理）(本小題滿分14分)

已知數列{a_n}和{b_n}滿足：a₁=λ,a_n+1=其中λ為實數，n為正整數.

（Ⅰ）對任意實數λ，證明數列{a_n}不是等比數列；

（Ⅱ）試判斷數列{b_n}是否為等比數列，并證明你的結論；

（Ⅲ）設0＜a＜b,S_n為數列{b_n}的前n項和.是否存在實數λ，使得對任意正整數n，都有

a＜S_n＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

（1）證明；假設存在一個實數，使是等比數列，則有，

即矛盾。

所以不是等比數列。

（2）解：因為

又，所以

當時，些時不是等比數列；

當時，由上可知。

故當時，數列是以為首項，為公比的等比數列。

（3）由（2）知，當時，不滿足題目要求。

，故得可得

。

要使對任意正整數成立

即

得．．．．．．①

令，則

當為正奇數時，；當為正偶數時，．

所以的最大值為，的最小值為，

于是，由式①得．

當時，由知，不存在實數滿足題目要求；

當時，存在實數，使得對任意正整數，都有，且的取值范圍是。

【試題解析】第（1）問問的是證明 “不是等比數列”，這樣的問題顯然用“反證法”；第（2）正著問，那就順著推；第（3）問要先求和再解建立不等式。

【高考考點】本題主要考查等比數列的定義、數列求和、不等式基礎知識和分類討論的思想，考查綜合分析問題的能力和推理能力。

【易錯提醒】本題主要是，沒有掌握解題的基本方法，再就是沒有分類討論。

【備考提示】對等比數列、等差數列、數求和的知識要熟練掌握，數列中要特別注意遞推關系式的結構。