Question

已知圓的方程為，過點作圓的兩條切線，切點分別為、,直線恰好經過橢圓的右頂點和上頂點．

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設是橢圓（垂直于軸的一條弦，所在直線的方程為且是橢圓上異于、的任意一點，直線、分別交定直線于兩點、，求證.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）  （Ⅱ）聯立方程組表示出向量,再證.

【解析】

試題分析：（Ⅰ） 觀察知，是圓的一條切線，切點為，

設為圓心，根據圓的切線性質，，

所以， 所以直線的方程為.

線與軸相交于，依題意，所求橢圓的方程為 

（Ⅱ） 橢圓方程為，設

則有，

在直線的方程中，令，整理得

           ①

同理，     ②

①②，并將代入得

 

===.

而=   

∵且，∴

∴

考點：直線與圓錐曲線的關系；橢圓的標準方程．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系，考查橢圓的標準方程，考查數形結合思想，考查學生的運算能力、分析問題解決問題的能力，難度較大．