Question

已知函數f(x)=

lnx

x

的圖象為曲線C，函數g(x)=

1

2

ax+b的圖象為直線l．
（Ⅰ） 設m＞0，當x∈（m，+∞）時，證明：(x+m)ln

x

m

-2(x-m)＞0
（Ⅱ） 設直線l與曲線C的交點的橫坐標分別為x₁，x₂，且x₁≠x₂，求證：（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）構造函數H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m），x∈（m，+∞），通過導數法可研究出H（x）在x∈（m，+∞）單調遞增，而H（m）=0，從而可使結論得證；
（Ⅱ）可利用分析法，不妨設0＜x₁＜x₂，要證（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，只需證（x₁+x₂）[

1

2

a（x₁+x₂）+b]＞2，只需證（x₁+x₂）[

1

2

ax22+bx₂-（

1

2

ax12+bx₁）]＞2（x₂-x₁），結合（Ⅰ）的結論即可使問題解決．

解答：證明：（1）令H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m），x∈（m，+∞），
則H（m）=0，要證明（x+m）ln

x

m

-2（x-m）＞0，
只需證H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m）＞H（m），
∵H′（x）=ln

x

m

+

m

x

-1，
令G（x）=ln

x

m

+

m

x

-1，G′（x）=

1

x

-

m

x2

，
由G′（x）=

x-m

x2

＞0得，x＞m，
∴G（x）在x∈（m，+∞）單調遞增，
∴G（x）＞G（m）=0
H'（x）＞0，H（x）在x∈（m，+∞）單調遞增．
H（x）＞H（m）=0，
∴H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m）＞0，
（2）不妨設0＜x₁＜x₂，要證（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2，
只需證（x₁+x₂）[

1

2

a（x₁+x₂）+b]＞2，
只需證（x₁+x₂）[

1

2

ax22+bx₂-（

1

2

ax12+bx₁）]＞2（x₂-x₁），
∵

lnx1

x1

=

1

2

ax₁+b，

lnx2

x2

=

1

2

ax₂+b，
即（x₁+x₂）ln

x2

x1

＞2（x₂-x₁）（*），
而由（1）知（*）成立．
所以（x₁+x₂）g（x₁+x₂）＞2

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，構造函數H（x）=（x+m）ln

x

m

-2（x-m），x∈（m，+∞）是關鍵，探討H（x）在x∈（m，+∞）單調遞增是難點，突出考查分析法證題的作用，屬于難題．