Question

【題目】11月，2019全國美麗鄉村籃球大賽在中國農村改革的發源地-安徽鳳陽舉辦，其間甲、乙兩人輪流進行籃球定點投籃比賽（每人各投一次為一輪），在相同的條件下，每輪甲乙兩人在同一位置，甲先投，每人投一次球，兩人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；兩人都命中或都未命中，兩人均得0分，設甲每次投球命中的概率為，乙每次投球命中的概率為，且各次投球互不影響.

（1）經過1輪投球，記甲的得分為，求的分布列；

（2）若經過輪投球，用表示經過第輪投球，累計得分，甲的得分高于乙的得分的概率.

①求；

②規定，經過計算機計算可估計得，請根據①中的值分別寫出a，c關于b的表達式，并由此求出數列的通項公式.

Answer 1

【答案】（1）分布列見解析；（2）①；②，.

【解析】

（1）經過1輪投球，甲的得分的取值為，記一輪投球，甲投中為事件，乙投中為事件，相互獨立，計算概率后可得分布列；

（2）由（1）得，由兩輪的得分可計算出，計算時可先計算出經過2輪后甲的得分的分布列（的取值為），然后結合的分布列和的分布可計算，

由，代入，得兩個方程，解得，從而得到數列的遞推式，變形后得是等比數列，由等比數列通項公式得，然后用累加法可求得．

（1）記一輪投球，甲命中為事件，乙命中為事件，相互獨立，由題意，，甲的得分的取值為，

，

，

，

∴的分布列為：

	－1	0	1

（2）由（1），

，

同理，經過2輪投球，甲的得分取值：

記，，，則

，，，，

由此得甲的得分的分布列為：

	－2	－1	0	1	2

∴，

∵，，

∴，，∴，

代入得：，

∴，

∴數列是等比數列，公比為，首項為，

∴．

∴．