Question

設定義域為R的函數f(x)=

5|x-1|-1，x≥0 x2+4x+4，x＜0

若關于x的方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有5個不同的實數解，則m=（　　）

A．6

B．4或6

C．6或2

D．2

Answer 1

分析：故先根據題意作出f（x）的簡圖，令t=f（x），則由題意可得關于t的方程t²-（2m+1）t+m²=0有一根為t=4，另一個根大于4或等于0，把t=4代入方程t²-（2m+1）t+m²=0
求得m=2或m=6．經過檢驗，只有m=6滿足條件．

解答：解：∵題中原方程f²（x）-（2m+1）f（x）+m²=0有5個不同的實數根，結合函數f（x）的圖象可得，
令t=f（x），則關于t的方程t²-（2m+1）t+m²=0有一根為t=4，另一個根大于4或等于0．
把t=4代入方程t²-（2m+1）t+m²=0求得m=2或m=6．
當m=2時，關于t的方程t²-（2m+1）t+m²=0有一根為t=4，另一個根等于1，不滿足條件．
當m=6時，關于t的方程t²-（2m+1）t+m²=0有一根為t=4，另一個根等于9，滿足條件．
故答案為：6．

點評：本題主要考查方程的根的存在性以及根的個數判斷，數形結合是數學解題中常用的思想方法，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數學問題的本質；另外，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，且解法簡捷，屬于中檔題．