Question

函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，當x≥0時，f（x）=2x-x²，
（Ⅰ）求x＜0時，f（x）的解析式；
（Ⅱ）問是否存在這樣的正數a，b，當x∈[a，b]時，f（x）的值域為[

1

b

，

1

a

]？若存在，求出所有的a，b的值；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意，函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，x≥0時，f（x）=2x-x²，要求x＜0時，f（x）的解析式，可選取x＜0，得到-x＞0，代入x≥0時時的解析式，得到f（-x），再由f（-x）=-f（x），兩者聯立，即可求得x＜0時，f（x）的解析式，
（Ⅱ）由題意，x＞0時，f（x）=-（x-1）²+1≤1，可得出

1

a

≤1，得出a≥1，由此知函數在[a，b]上是減函數，故可得出

1 b =f(b)=-b2+2b 1 a =f(a)=-a2+2a

，解此方程組得出a，b的值

解答：解：（Ⅰ）任取x＜0，得-x＞0，故有f（-x）=-2x-x²
又函數y=f（x）是定義在R上的奇函數，有f（-x）=-f（x），
∴-f（x）=-2x-x²
∴x＜0時，f（x）=2x+x²；
（Ⅱ）∵當x＞0時，f（x）=-（x-1）²+1≤1，
若存在這樣的正數a，b，則當x∈[a，b]時，[f(x)]max=

1

a

≤1?a≥1，
∴f（x）在[a，b]內單調遞減，
∴

1 b =f(b)=-b2+2b 1 a =f(a)=-a2+2a

?a，b是方程x³-2x²+1=0的兩正根，
∵x³-2x²+1=（x-1）（x²-x-1）=0，
∴x1=1，x2=

1+ 5

2

，
∴a=1，b=

1+ 5

2

．

點評：本題考查函數最值的應用，解題的關鍵是題解題意，判斷函數的性質，確定函數的最值，再利用函數的最值建立方程求出參數的值，利用最值建立方程是最值的一個非常重要的應用，本題第一小題求利用奇函數的性質求對稱區間上的解析式，是奇函數性質的重要運用，注意總結此題的解法步驟