Question

本題有(1)．(2)．(3)三個選做題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題計分．作答時，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應的題號涂黑，并將所選題號填入括號中．

（1）(本小題滿分7分)選修4－2：矩陣與變換選做題

已知矩陣A=有一個屬于特征值1的特征向量.  

(Ⅰ) 求矩陣A；

(Ⅱ) 矩陣B=，點O(0,0)，M(2，-1)，N(0，2)，求在矩陣AB的對應變換作用下所得到的的面積. 

（2）(本小題滿分7分)選修4－4：坐標系與參數方程選做題

在直角坐標平面內，以坐標原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系.已知曲線的參數方程為，曲線的極坐標方程為．

（Ⅰ）將曲線的參數方程化為普通方程；（Ⅱ）判斷曲線與曲線的交點個數，并說明理由．

（3）(本小題滿分7分)選修4－5：不等式選講選做題

已知函數，不等式在上恒成立．

（Ⅰ）求的取值范圍；

（Ⅱ）記的最大值為，若正實數滿足，求的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）(Ⅰ)  (Ⅱ)8 （2）（Ⅰ）（Ⅱ）只有一個交點（3）（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（1）(Ⅰ)由已知得，所以     2分

解得 故A=.3分.

(Ⅱ)AB==，所以，，，     5分

即點O，M，N變成點O′(0，0)，M′(4，0)，N′(0，4)，

的面積為.                   7分

（2）（Ⅰ）由已知得                1分

消去參數,得 ．                     3分

（Ⅱ）由得曲線的直角坐標方程為,    4分

由 消去,得，              5分           

解得                   6分

故曲線與曲線只有一個交點．                          7分

（3）（Ⅰ）因為，

所以.                2分

因為不等式在R上恒成立，

所以， 的取值范圍為.        3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

由柯西不等式得：，

所以.                                    5分

當且僅當即時，

的最大值為.       7分

考點：矩陣極坐標及不等式性質

點評：三選一的題目一般難度不大，解極坐標問題常轉化為直角坐標，利用關系式

，實現直角坐標與極坐標的互相轉化，絕對值不等式的求解結合絕對值的幾何意義可使計算簡化