Question

定義在上的函數，當時，，且對任意的 ,有，
（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求證：對任意的，恒有；
（Ⅲ）證明：是上的增函數.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）見解析；（Ⅲ）.

解析試題分析：（Ⅰ）令即可得證；（Ⅱ）令得，，由已知x>0時，f(x)>1>0，當x<0時，-x>0，f(-x)>0，故對任意x∈R，f(x)>0；（Ⅲ）先證明為增函數：任取x₂>x_1，則，，故，故其為增函數.
試題解析：（Ⅰ）令，則f(0)=[f(0)]²  ∵ f(0)≠0 ∴ f(0)=1  2分
（Ⅱ）令則 f(0)=f(x)f(-x)∴  4分
由已知x>0時，f(x)>1>0，當x<0時，-x>0，f(-x)>0
∴，又x=0時，f(0)=1>0       6分
∴對任意x∈R，f(x)>0               7分
(Ⅲ)任取x₂>x₁，則f(x₂)>0，f(x₁)>0，x₂-x₁>0  8分
∴
∴ f(x₂)>f(x₁) ∴ f(x)在R上是增函數       13分
考點：抽象函數、增函數的證明、一元二次不等式解法.