Question

設函數的定義域為D，若存在非零實數使得對于任意，有，且，則稱為M上的高調函數. 

現給出下列命題：

① 函數為R上的1高調函數；

② 函數為R上的高調函數；

③ 如果定義域為的函數為上高調函數，那么實數 的取值范圍是；

④ 函數為上的2高調函數。

其中真命題的個數為

A．0                B．1                C．2                D．3

 

Answer 1

【答案】

D

【解析】

試題分析：首先理解“高調函數”的定義：函數的定義域為D，若存在非零實數使得對于任意，有，且，則稱為M上的高調函數.

據此研究四個函數：

對于①，即f（x）=()^x。f（x+l）=()^x+l，要使f（x+l）≥f（x），需要()^x+l≥()^x恒成立，只需l≤0；所以①函數為R上的1高調函數；不對；

對于②，f（x+1））=sin2（x+1）≥sin2x=f（x），當l=π時恒成立；所以函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數，

所以②對;

對于③，f（x+m）=（x+m）²，f（x）=x²,令（x+m）²≥x²，即2mx+m²≥0在恒成立，

∴m>0且2m（-1）+m²≥0，解得m≥2，故③對;

對于④ 函數，若其為2高調函數，

則由≥，在恒成立，

得在恒成立，而此恒成立，所以④對

故正確的命題個數是3個，

故選D。

考點：本題主要考查學生的閱讀能力， 常見函數的性質。

點評：新定義問題，具有較強的綜合性。關鍵是閱讀理解新定義內容，應用知識分析解決問題，利用數形結合的方法，應用圖象解決問題，屬中檔題