Question

（2010•北京模擬）定義函數y=f（x）：對于任意整數m，當實數x∈(m-

1

2

，m+

1

2

)時，有f（x）=m．
（Ⅰ）設函數的定義域為D，畫出函數f（x）在x∈D∩[0，4]上的圖象；
（Ⅱ）若數列an=2+10(

2

5

)n（n∈N^*），記S_n=f（a₁）+f（a₂）+…+f（a_n），求S_n；
（Ⅲ）若等比數列b_n的首項是b₁=1，公比為q（q＞0），又f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，求公比q的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據函數y=f（x）的定義，求出函數在區間[0，4]上的解析式，即可畫出函數的圖象；
（Ⅱ）根據an=2+10(

2

5

)n，可知2＜a_n＜6，求出f（a_n），在求和即可；
（Ⅲ）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，且b₁=1，得f（q）+f（q²）=3，分類討論即可求得結果．

解答：解：（I）當x∈[0，

1

2

）時，f（x）=0，
當x∈[

1

2

，

3

2

）時，f（x）=1，
當x∈[

3

2

，

5

2

）時，f（x）=2，
當x∈[

5

2

，

7

2

）時，f（x）=3，
當x∈[

5

2

，4]時，f（x）=4，
∴圖象如圖所示，
（II）由于an=2+10•(

2

5

)n，所以f(an)=

6，n=1 4，n=2 3，n=3 2，n≥4

，
因此Sn=

6，n=1 10，n=2 2n+7，n≥3

；
（III）由f（b₁）+f（b₂）+f（b₃）=4，且b₁=1，得f（q）+f（q²）=3，
當0＜q≤1時，則q²≤q≤1，
所以f（q²）≤f（q）≤f（1）=1，
則f（q）+f（q²）≤2＜3，不合題意；
當q＞1時，則q²＞q＞1，
所以f（q²）≥f（q）≥f（1）=1．
又f（q）+f（q²）=3，
∴只可能是

f(q)=1 f(q2)=2

，即

1 2 ＜q＜ 3 2 3 2 ＜q2＜ 5 2

，
解之得

6

2

＜q＜

3

2

．

點評：本題以新定義為載體，考查分段函數的解析式的求法和圖象的畫法，以及數列求和問題，考查利用知識分析解決問題的能力和運算能力，讀懂題意是解題的關鍵，屬難題．