Question

已知函數f(x)的定義域為［0，1］，且同時滿足：①f(1)=3;②f(x)≥2恒成立；③若x₁≥0,x₂≥0,x₁+x₂≤1,則有f(x₁+x₂)≥f(x₁)+f(x₂)-2.

（1）試求函數f(x)的最大值和最小值；

（2）試比較f(ⁿ)與ⁿ+2的大小(n∈N)；

（3）某人發現：當x=ⁿ(n∈N)時，有f(x)＜2x+2.由此他提出猜想：對一切x∈(0,1］,都有f(x)＜2x+2,請你判斷此猜想是否正確，并說明理由.

Answer 1

解：(1)設0≤x₁＜x₂≤1,則必存在實數t∈(0,1),使得x₂=x₁+t,

由條件③得,f(x₂)=f(x₁+t)≥f(x₁)+f(t)-2,

∴f(x₂)-f(x₁)≥f(t)-2,由條件②得,f(x₂)-f(x₁)≥0,故當0≤x≤1時,有f(0)≤f(x)≤f(1).

又在條件③中,令x₁=0,x₂=1,得f(1)≥f(1)+f(0)-2,即f(0)≤2,∴f(0)=2,故函數f(x)的最大值為3,最小值為2.

(2)在條件③中,令x₁=x₂=,得f()≥2f(ⁿ)-2,即f()-2≤[f()-2],

故當n∈N^*時，有f()-2≤[f()-2]≤[f()-2]≤…≤[f()-2]= ,

即f()≤+2.

又f()=f(1)=3≤2+,

所以對一切n∈N,都有f()≤+2.

(3)對一切x∈(0,1),都有f(x)＜2x+2.

對任意滿足x∈(0,1)，總存在n(n∈N),使得＜x≤,

根據（1）（2）結論，可知：f(x)≤f()≤+2,且2x+2＞2×+2=+2,

故有f(x)＜2x+2.綜上所述，對任意x∈(0,1),f(x)＜2x+2恒成立.