Question

已知函數f(x)=

x+1-a

a-x

(x≠a)
（1）當f（x）的定義域為[a+

1

2

，a+1]時，求f（x）的值域；
（2）試問對定義域內的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是否為一個定值？若是，求出這個定值；若不是，說明理由；
（3）設函數g（x）=x²+|（x-a）f（x）|，若

1

2

≤a≤

3

2

，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析：（1）先將函數進行常數分離，然后根據定義域求出a-x的取值范圍，再根據反比例函數求出

1

a-x

的取值范圍即可求出所求．
（2）f（2a-x）+f（x）=

a-x+1

x-a

+

x+1-a

a-x

=

2(a-x)

x-a

=-2，對定義域內的所有x都成立．
（3）由a=1，得g（x）=x²+|x|（x≠-1）當x≥0時，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

求得最小值；當x≤0時，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

求得最小值，最后從中取最小的，作為函數的最小值．

解答：解：（1）函數f(x)=

x+1-a

a-x

(x≠a)=-1+

1

a-x

．
當 a+

1

2

≤x≤a+1時，-a-1≤-x≤-a-

1

2

，-1≤a-x≤-

1

2

，-2≤

1

a-x

≤-1，
于是-3≤-1+

1

a-x

≤-2，
即f（x）值域為[-3，-2]．
（2）∵f（2a-x）+f（x）=

a-x+1

x-a

+

x+1-a

a-x

=

2(a-x)

x-a

=-2，
對定義域內的所有x都成立，
∴對定義域內的任意x，f（2a-x）+f（x）的值是定值-2．
（3）解：當a=1時，g（x）=x²+|x|（x≠-1）
（ⅰ）當x≥0時，g(x)=(x+

1

2

)2-

1

4

則函數g（x）在[0，+∞）上單調遞增，
g（x）_min=g（0）=0
（ⅱ）當x≤0時，g(x)=(x-

1

2

)2-

1

4

則函數g（x）在（-∞，0]且x≠-1時單調遞減，
g（x）_min=g（0）=0
綜合得：當x≠-1時，g（x）的最小值是0．

點評：本題主要考查恒成立問題、分類常數法轉化函數及分段函數求最值問題和分式函數的值域，解題時要認真審題，仔細解答．