Question

雙曲線的離心率e=2，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是左，右焦點，過F₂作x軸的垂線與雙曲線在第一象限交于P點，直線F₁P與右準線交于Q點，已知
（1）求雙曲線的方程；
（2）設過F₁的直線MN分別與左支，右支交于M、N，線段MN的垂線平分線l與x軸交于點G（x，0），若1≤|NF₂|＜3，求x的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為雙曲線的離心率e=2，所以可得含a，c的等式，再由，可求出a值，結合a，b，c的關系式，就能求出b，雙曲線的方程可知．
（2）因為直線MN過F₁點，可設出點斜式方程，與與雙曲線方程聯(lián)立，求出兩根之和，兩根之積，再因為線段MN的垂線平分線l與MN斜率互為負倒數(shù)，且過MN中點，所以線段MN的垂線平分線l方程可以寫出，再因為可用線段MN的垂線平分線l與x軸交于點G（x，0），可用含k的式子表示x，再根據(jù)1≤|NF₂|＜3，求x的范圍即可．
解答：解：（1）∵e=2⇒c=2a，F(xiàn)₁（-2a，0），F(xiàn)₂（2a，0），P（2a，m）m=|PF₂|=e•2a-a=3a∴P（2a，3a），
設Q∵F₁，Q，F(xiàn)₂三點共線∴∵得a²=1
∴
（2）設MN：y=k（x+2）代入3x²-y²=3得：（3-k²）x²-4k²x-4k²-3=0△＞0?k²+1＞0
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
∵∴
∵l過Q（x，0）∴∵|NF₂|=2x₁-1且|NF₂|∈[1，3）
∴x₁∈[1，2）⇒
令∵
∴f（x₁）在x₁∈[1，2）上單調遞增
得 ∵∴
點評：本題考查了雙曲線方程的求法，以及直線與雙曲線位置關系的判斷，做題時要認真分析．