Question

【題目】在四棱柱中，平面，底面是邊長為的正方形，與交于點，與交于點，且.

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求的長度；

（Ⅲ）求直線與所成角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）的長度等于.（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）在以中，利用中位線定理證明，再由線面平行的判定定理得證；

（Ⅱ）由已知說明，，兩兩垂直，進而可建立空間直角坐標系，再分別表示點的坐標，即可表示，的坐標，由向量垂直的數(shù)量積為零構(gòu)建方程求得答案；

（Ⅲ）由數(shù)量積的坐標運算求夾角的余弦值.

（Ⅰ）證明：由已知，四棱柱中，四邊形與四邊形是平行四邊形，所以，分別是，的中點.

所以中，.

因為平面，所以平面.

（Ⅱ）因為平面，，

所以平面，所以，，

又正方形中，所以以為原點，，，分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系.

設，所以，，，，

，.

因為，所以，

解得，所以的長度等于.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，

設直線與所成角為，

所以.

即直線與所成角的余弦值為.