Question

已知a，b∈R，矩陣A=

-1 a b 3

所對應的變換T_A將直線2x-y-3=0變換為自身．
（1）求實數a，b的值；
（2）計算A2

-1 3

．

Answer 1

分析：（1）首先分析題目已知A=

-1 a b 3

所對應的變換T_A把直線：2x-y-3=0變換為自身，故可根據變換的性質列出一組方程式求解出a，b；
（2）由（1）即可得到矩陣M，再根據矩陣的乘法運算求出A2

-1 3

即可．

解答：解：（1）設直線2x-y-3=0上任意一點P（x，y）在變換T_A的作用下變成點P'（x'，y'），
由題意知2x'-y'-3=0，由

-1 a b 3

x y

=

x′ y′

得x'=-x+ay，y'=bx+3y，…（2分）
代入直線2x'-y'-3=0得2（-x+ay）-（bx+3y）-3=0，
即（-b-2）x+（2a-3）y-3=0，
由點P（x，y）的任意性可得-b-2=2，2a-3=-1，
解得a=1，b=-4．         …（5分）
（2）由（1）得A²=

-1 1 -4 3

-1 1 -4 3

=

-3 2 -8 5

，…（7分）
則A2

-1 3

=

-3 2 -8 5

-1 3

=

9 23

．                     …（10分）

點評：此題主要考查矩陣變換的問題，其中涉及到矩陣的乘法，題中是用一般方法求解，也可根據取特殊值法求解，具體題目具體分析找到最簡便的方法．