Question

已知不等式［log₂n］?,其中n為大于2的整數,［log₂n］表示不超過log₂n的最大整數,設數列{a_n}的各項為正,且滿足a₁=b(b＞0),a_n≤,n=2,3,4,….?

(1)證明a_n＜,n=3,4,5,….?

(2)猜測數列{a_n}是否有極限?如果有,寫出極限的值(不必證明).?

(3)試確定一個正整數N,使得當n＞N時,對任意b＞0,都有a_n＜.

Answer 1

解析:(1)證法一:∵當n≥2時,0＜,?

∴,?

即.?

于是有?

, ,…,.?

由不等式兩邊相加可得?

.?

由已知不等式知,當n≥3時有?

［log₂n］.?

∵a₁=b,?

∴［log₂n］=,a_n＜.?

證法二:設f(n)=++…+,首先利用數學歸納法證不等式a_n≤,n=3,4,5,….

①n=3時,由a₃≤,?

知不等式成立.?

②假設當n=k(k≥3)時,不等式成立,?

即a_k≤,?

則a_k+1≤?

=

≤

=

=

=,?

即當n=k+1時,不等式也成立.?

由①②知,a_n≤,n=3,4,5,….??

又由已知不等式得?

a_n＜,n=3,4,5,….?

(2)有極限,且a_n=0.?

(3)∵,?

令,?

則有log₂n≥［log₂n］＞10?

n＞2¹⁰ =1 024,?

故取N=1 024,可使當n＞N時,都有a_n＜.