Question

已知不等式x²-4x+3＜0的解集是A．
（Ⅰ）求集合A；
（Ⅱ）函數f（x）=log₂（a-x）（a∈R）的定義域為集合B，若A⊆B，求a的取值范圍；
（Ⅲ）不等式ax²-2x-2a＞0（a∈R且a≠0）的解集為C，若A∩C≠φ，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解不等式x²-4x+3＜0可得A
（Ⅱ）由題意可得B=（-∞，a）由A⊆B 結合數軸可求a的取值范圍            
（Ⅲ）（法一）設g（x）=ax²-2x-2a，由A∩C≠φ可知1，3∈C，則①a＞0時，g（3）＞0；②a＜0時，g（1）＞0可求a的范圍
（法二）由f（x）為二次函數，可得a≠0，令f（x）=0，解得其兩根為x₁=

1

a

-

2+ 1 a2

＜0，x₂=

1

a

+

2+ 1 a2

＞0
①當a＞0時，A={x|x＜x₁或x＞x₂}，又A∩C≠∅，則滿足：x₂＜3，②當a＜0時，A={x|x₁＜x＜x₂}，滿足x₂＞1，從而可求a的范圍

解答：解：（Ⅰ）解不等式x²-4x+3＜0可得1＜x＜3
所以，A=（1，3）…（4分）
（Ⅱ）由題意可得B=（-∞，a）
∵A⊆B∴a≥3                  …（8分）
（Ⅲ）設g（x）=ax²-2x-2a1
①a＞0時，g(3)＞0⇒a＞

6

7

；
②a＜0時，g（1）＞0⇒a＜-2
則a的取值范圍是(-∞，-2)∪(

6

7

，+∞)．…（15分）
另解：∵f（x）為二次函數，∴a≠0，令f（x）=0，解得其兩根為x₁=

1

a

-

2+ 1 a2

＜0，x₂=

1

a

+

2+ 1 a2

＞0
①當a＞0時，A={x|x＜x₁或x＞x₂}，又知集合B={x|1＜x＜3}，A∩C≠∅，則滿足：x₂＜3，即

1

a

+

2+ 1 a2

＜3，
∴a＞

6

7

；
②當a＜0時，A={x|x₁＜x＜x₂}，A∩C≠∅其滿足x₂＞1，即

1

a

+

2+ 1 a2

＞1，解得a＜-2．
綜上所述，使A∩C≠∅成立的a的取值范圍是(-∞，-2)∪(

6

7

，+∞)．

點評：本題目主要考查了二次不等式的解法，對數函數的定義域的求解及二次函數與二次不等式、二次方程之間的相互轉化，結合之間的包含關系的應用．