Question

已知

a

=(cosα+sinα，cosα)，

b

=(m，sinα)，（α∈(

π

12

，π]，m∈R）
（1）求函數f(α)=

a

•

b

解析式
（2）求函數y=f（α）的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據向量的數量積，直接得到函數解析式．
（2）利用換元法t=sinα+cosα化簡函數的表達式，結合α∈(

π

12

，π]，m∈R推出元的范圍，利用二次函數在閉區間的最值的求法，分類討論m的值，求出函數的最小值．

解答：解：（1）f(α)=

a

•

b

=m(cosα+sinα)+sinαcosαα∈(

π

12

，π]（5分）
（2）因為（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα，令t=sinα+cosα，
則sinαcosα=

t2-1

2

，所以f(α)=

1

2

t2+mt-

1

2

（6分）
而t=sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)，
由α∈(

π

12

，π]知(α+

π

4

)∈(

π

3

，

5π

4

]，
所以sin(α+

π

4

)∈[-

2

2

，1]
所以t=

2

sin(α+

π

4

)∈[-1，

2

]
令y=g(t)=

1

2

t2+mt-

1

2

，  t∈[-1，

2

]（8分）
二次函數對稱軸為t=-m
當-m＜-1，即m∈（1，+∞）時，函數y=g（t）在t∈[-1，

2

]上單調遞增，此時y_min=g（-1）=-m
當-1≤-m≤

2

，即-

2

≤m≤1時，ymin=g(-m)=-

m2+1

2

當-m＞

2

，即m＜-

2

時，函數y=g（t）在t∈[-1，

2

]上單調遞減，
此時ymin=g(

2

)=

1

2

+

m

m＜-

2

m＞1-

2

≤m≤1綜上可知ymin=

-m - m2+1 2 1 2 + m

（14分）

點評：本題是中檔題，考查三角函數的解析式的求法，二次函數閉區間的最值求法，考查計算能力，換元法的方法，分類討論思想的應用．