Question

已知

a

=(cosα，sinα)，

b

=(cosβ，sinβ)，其中0＜α＜β＜π．
（1）求證：

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直；
（2）若k

a

+

.

b

與

a

-k

.

b

的長度相等，求α-β的值（k為非零的常數）．

Answer 1

分析：（1）求出(

a

+ 

b

)• (

a

-

b

)，利用兩向量的數量積為0兩向量垂直得證．
（2）求出兩個向量的坐標，利用向量模的坐標公式求出兩個向量的模，列出方程，化簡求出三角函數值，求出角．

解答：（1）證明：∵(

a

+

b

)•(

a

-

b

)=

a

2-

b

2=(cos2α+sin2α)-(cos2β+sin2β)=0
∴

a

+

b

與

a

-

b

互相垂直
（2）解：k

a

+

b

=（kcosα+cosβ，ksinα+sinβ）；

a

-k

b

=（cosα-kcosβ，sinα-ksinβ）
|k

a

+

b

|=

k2+1+2kcos(β-α)

|

a

-k

b

|=

k2+1-2kcos(β-α)

而

k2+1+2kcos(β-α)

=

k2+1+2kcos(β-α)

cos（β-α）=0，
α-β=-

π

2

點評：本題考查向量垂直的充要條件、向量模的坐標公式、向量與三角函數結合是高考常出現的題型．