Question

在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a、b、c成等比數列．
（1）求角B的取值范圍；
（2）若關于B的表達式cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

-

B

2

）+m＞0恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據余弦定理表示出cosB，再根據基本不等式求其范圍即可．
（2）先將關于B的表達式cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

-

B

2

）+m化簡成2（cosB-

1

2

）²+m-

3

2

，cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

-

B

2

）+m＞0恒成立即2（cosB-

1

2

）²+m-

3

2

的最小值大于0成立即可，轉化成球函數2（cosB-

1

2

）²+m-

3

2

的最小值問題．

解答：解：（1）∵b²=ac
cosB=

a2+c2-b2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

當且僅當a=b=c時，cosB=

1

2

∴B∈（0，

π

3

]
（2）cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）cos（

π

4

-

B

2

）+m
=cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

+

B

2

）+m
=cos2B-2[1-cos（

π

2

+B）]+m
=2cos²B-2sinB+m-3
=2（cosB-

1

2

）²+m-

7

2

1

2

≤cosB＜1
∴2（cosB-

1

2

）²+m-

7

2

∈[m-

7

2

，m-3]
∵不等式cos2B-4sin（

π

4

+

B

2

）sin（

π

4

-

B

2

）+m＞0恒成立．
∴m-

7

2

＞0，m＞

7

2

故m的取值范圍是（

7

2

，+∞）

點評：本題主要考查余弦定理和基本不等式的應用．對三角函數求解得問題時要先對其原函數進行化簡．