Question

在△ABC中，已知A（0，a），B（0，-a），AC，CB兩邊所在的直線分別與x軸交于原點同側的點M，N，且滿足|OM|•|ON|=4a²（a為不等于零的常數）
（1）求點C的軌跡方程；
（2）如果存在直線l：y=kx-1（k≠0），使l與點C的軌跡相交于不同的P，Q兩點，且|AP|=|AQ|，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用三點共線兩直線斜率相等將M，N的坐標用C的坐標表示，將M，N坐標代入|OM|•|ON|=4a²，求出C的軌跡方程．
（2）將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理得到P，Q的中點，據中垂線上的點到線段兩端點的距離線段，得到A在PQ的中垂線上，利用兩線垂直，斜率之積為-1，列出方程，代入判別式求出a的范圍．

解答：解：（1）設點C（x，y）（x≠1）M（x_M，0），N（x_N，0）
當y=a時，AC∥x軸，當y=-a時，BC∥x軸，與題意不符，所以y≠±a；
由A、C、M三點共線有

a-0

0-xM

=

a-y

0-x

，解得x_M=

ax

a-y

同理由B、C、N三點共線，解得x_N=

ax

a+y

∵x_M•x_N＞0，∴|OM|•|ON|=x_M•x_N=

ax

a-y

•

ax

a+y

=4a²，
化簡得點C的軌跡方程為x²+4y²=4a²（x≠0）
（2）設PQ的中點為R，

x2+4y2=4a2 y=kx-1

∴（1+4k²）x²-8kx+4-4a²=0，
由△=64k²-4（1+4k²）（1-4a²）＞0，
化簡得4a²k²+a²-1＞0①x_R=

x1+x2

2

=

4k

1+4k2

，y_R=kx_R-1=

-1

1+4k2

∵|AP|=|AQ|?，即k_AR•k=-1，
∴

a+ 1 1+4k2

0- 4k 1+4k2

•k=1，4ak²+a-3=0，即k²=

3-a

4a

②
∵k≠0，∴k²＞0，∴0＜a＜3把②代入①并化簡得3a-1＞0?a＞

1

3

當a=1時，直線l過點B，而曲線C不過點B，所以直線l與曲線C只有一個公共點故a=1舍去；
故a的取值范圍是

1

3

＜a＜3且a≠1

點評：本題考查利用直接法求動點的軌跡方程、考查三點共線兩直線斜率相等、考查二次方程的韋達定理、中點坐標公式．