Question

已知直線l：x=4與x軸相交于點(diǎn)M，動(dòng)點(diǎn)P滿足PM⊥PO（O是坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）試在直線l上確定一點(diǎn)D（異于M點(diǎn)），過點(diǎn)D作曲線C的切線，使得切點(diǎn)E恰為切線與x軸的交點(diǎn)F與點(diǎn)D的中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）依題意，M（4，0），設(shè)P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得

PM

•

PO

=0，即可得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）因?yàn)镈E、DM都是圓（x-2）²+y²=4的切線，所以DE=DM，根據(jù)E點(diǎn)位DF的中點(diǎn)，可求得CF=4，F(xiàn)M=6，進(jìn)而可得DM=2

3

，故可得D的坐標(biāo)．

解答：解：（1）依題意，M（4，0）…（1分）
設(shè)P（x，y）（x≠0且x≠4），由PM⊥PO，得

PM

•

PO

=0，即x（x-4）+y²=0…（4分）
整理得：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為（x-2）²+y²=4（x≠0且x≠4）…（6分）
（2）因?yàn)镈E、DM都是圓（x-2）²+y²=4的切線，所以DE=DM…（9分）
因?yàn)镋點(diǎn)是DF的中點(diǎn)，所以DF=2DE=2DM，所以∠DFN=

π

6

…（11分）
設(shè)C（2，0），在△CEF中，∠CEF=

π

2

，∠CFE=

π

6

，CE=2，
所以CF=4，F(xiàn)M=6…（13分）
從而DM=2

3

，故D（4，±2

3

）…（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查圓的方程，考查圓的切線，正確運(yùn)用向量知識(shí)是關(guān)鍵．