Question

已知函數．
（I）判斷函數在上的單調性（為自然對數的底）；
（II）記為的導函數，若函數在區間上存在極值，求實數的取值范圍。

Answer 1

（I）若,當時，函數在上單調遞減，
當時，函數在上單調遞增，
若,則,函數在上單調遞減.
（II） 。

本試題主要是考查了導數的在研究函數中的運用。判定函數單調區間，以及函數的極值問題的綜合運用
（1）由已知函數得到導函數，然后對于參數a分類討論得到其單調區間，注意討論的完備性。
（2）要是函數在給定區間存在極值，說明了導數值為零的點在該點左右兩側函數值異號，那么借助于概念分析求解。
解：（I）       …………1分
若,當時，函數在上單調遞減，
當時，函數在上單調遞增，…………5分
若,則,函數在上單調遞減.               …………7分
（II） ，  ， …………8分
方法一：函數在區間上存在極值
等價為關于方程在上有變號實根
……11分       在上單調遞減，在上單調遞增。
        …………14分
當時，，不存在極值  ……15分
方法二：  等價為關于方程在上有變號實根。
⑴  關于方程在上有兩個不相等實數根；
                …………10分
⑵關于方程在上有一個實數根；
                  …………12分
時，的解為
符合題意           …………13分
當時，的解為
均不符合題意 (舍)………14分   綜上所述，．………15分