Question

已知a，b為常數，a≠0，f（x）=ax²+bx，f（2）=0，方程f（x）=x有二個相等的實數解．
（1）求f（x）的解析式．
（2）當x∈[1，2]時，求f（x）值域．

Answer 1

分析：（1）由f（2）=0，可得 4a+2b=0 ①．由方程 f（x）=x即ax²+（b-1）x=0有二個相等的實數解，且a≠0．可得△=0 ②． 由①、②解得b和a的值，可得 f（x）的解析式．
（2）由（1）知 f（x）=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，再利用二次函數的性質求得當x∈[1，2]時，f（x）的值域．

解答：解：（1）由f（2）=0，可得 4a+2b=0 ①．
方程 f（x）=x 即 ax²+bx=x，即 ax²+（b-1）x=0有二個相等的實數解，且a≠0．
∴△=（b-1）²-4a=0 ②．
由①、②解得 b=1，a=-

1

2

，
∴f（x）=-

1

2

x²+x．
（2）由（1）知 f（x）=-

1

2

x²+x=-

1

2

（x-1）²+

1

2

，
對稱軸x=1開口向下，在[1，2]上是減函數，故當x=1時，y=

1

2

為最大值；  當x=2時，y=0為最小值．
故當x∈[1，2]時，f（x）的值域為[0，

1

2

]．

點評：本題主要考查函數的零點與方程的根的關系，利用二次函數的性質求函數的值域，屬于中檔題．