Question

函數f（x）=2cos²x+sin2x-1，給出下列四個命題
①函數在區間[

π

8

，

5π

8

]上是減函數；②直線x=

π

8

是函數圖象的一條對稱軸；③函數f（x）的圖象可由函數y=

2

sin2x的圖象向左平移

π

4

而得到；④若x∈[0，

π

2

]，則f（x）的值域是[-1，

2

]．其中所有正確的命題的序號是（　　）

• A、①②
• B、①③
• C、①②④
• D、②④

Answer 1

分析：首先利用二倍角公式和輔角公式整理函數式，在函數式的最簡形式下進行性質的運算，寫出函數的減區間判斷第一個命題正確，代入x的值判斷第二個命題正確，平移變換得到第三個不正確，根據自變量的值求出函數值得到第四個正確．

解答：解：∵函數f(x)=2cos2x+sin2x-1=

2

sin(2x+

π

4

)，
函數的減區間是2x+

π

4

∈[zkπ+

π

2

，2kπ+

3π

2

]
∴x∈[kπ+

π

8

，kπ+

5π

8

]
∴①正確，
當x=

π

8

時，y=

2

，
∴②正確，
③中為向左平移

π

8

，故③不正確，
當x∈[0，

π

2

]，f（x）的值域是[-1，

2

]．
故④正確，
總上可知①②④正確
故選C

點評：本題考查三角函數的恒等變形和函數的性質的運算，本題完全符合高考題目的方向，可以作為一個解答題目出現，注意三角函數的整理過程不要出錯，否則后面的運算都被影響．