Question

P是以F₁、F₂為焦點的雙曲線C：（a＞0，b＞0）上的一點，已知=0，．
（1）試求雙曲線的離心率e；
（2）過點P作直線分別與雙曲線兩漸近線相交于P₁、P₂兩點，當=-，=0，求雙曲線的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由，，得出，．再利用向量垂直的條件得到：（4a）²+（2a）²=（2c）²從而求雙曲線的離心率e．
（2）由（1）知，雙曲線的方程可設為，設P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）．利用向量的數量積得到：結合向量條件得出x，y的表達式，最后根據點P在雙曲線上列出方程求得a²=2．從而得到雙曲線的方程．
解答：解（1）∵，，∴，．
∵=0，∴（4a）²+（2a）²=（2c）²，∴．
（2）由（1）知，雙曲線的方程可設為，漸近線方程為y=±2x．
設P₁（x₁，2x₁），P₂（x₂，-2x₂），P（x，y）．
∵，∴．∵，∴
∵點P在雙曲線上，∴．
化簡得，．∴．∴a²=2．∴雙曲線的方程為
點評：本題考查向量與雙曲線的有關內容．近幾年來向量與其他知識互相滲透成為一種時尚，特命此題正基于此．本題考查學生運用圓錐曲線定義靈活解題的能力、向量知識、運算能力．