Question

若P是以F₁，F₂為焦點的橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上的一點，且

PF1

•

PF2

=0，tan∠PF1F2=

1

2

，則此橢圓的離心率為（　　）

• A．

  5

  3

• B．

  2

  3

• C．

  1

  3

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：根據向量

PF1

、

PF1

的數量積為零，可得△PF₁F₂是P為直角頂點的直角三角形．Rt△PF₁F₂中，根據正切的定義及tan∠PF1F2=

1

2

，可設PF₂=t，PF₁=2t，由勾股定理，得出F1F2=

5

t=2c．利用橢圓的定義得到2a=PF₁+PF₂=3t，最后由橢圓離心率的定義可得此橢圓的離心率．

解答：解：∵

PF1

•

PF2

=0
∴

PF1

⊥

PF2

，即△PF₁F₂是P為直角頂點的直角三角形．
∵Rt△PF₁F₂中，tan∠PF1F2=

1

2

，
∴

PF2

PF1

=

1

2

，設PF₂=t，則PF₁=2t
∴F1F2=

PF12+PF22

=

5

t=2c，
又∵根據橢圓的定義，得2a=PF₁+PF₂=3t
∴此橢圓的離心率為e=

c

a

=

2c

2a

=

5 t

3t

=

5

3

故選A

點評：本題給出橢圓的一個焦點三角形為直角三角形，根據一個內角的正切值，求橢圓的離心率，著重考查了橢圓的基本概念和簡單幾何性質，屬于基礎題．