Question

（本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)P₁(x₁，y₁)、P₂(x₂，y₂)，若，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為．
(1)，求證：P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值；
(2)，求
(3)，記T_n為數(shù)列的前n項(xiàng)和，若對(duì)一切n∈N*都成立，試求a的取值范圍。

Answer 1

(1)見解析；(2)；(3).

本試題主要考查了函數(shù)，與向量，以及數(shù)列的知識(shí)的綜合運(yùn)用。以函數(shù)為模型，確定點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系式，進(jìn)一步結(jié)合向量得到結(jié)論，并利用倒序相加法求解和，同時(shí)利用裂項(xiàng)求和得到不等式的證明。
（1）由于點(diǎn)在函數(shù)圖像上，同時(shí)滿足，那么利用坐標(biāo)化簡(jiǎn)得到結(jié)論。
（2）根據(jù)f (x₁)＋f (x₂)＝y₁＋y₂＝1，f (1)＝2－，結(jié)合倒序相加法求解得到結(jié)論。
（3）根據(jù)已知的和式得到，裂項(xiàng)求和的數(shù)學(xué)思想得到證明。
(1)證：∵，∴P是P₁P₂的的中點(diǎn)Þx₁＋x₂＝1------(2分)
　　∴

∴．-----------------------------(4分)
(2)解：由(1)知x₁＋x₂＝1，f (x₁)＋f (x₂)＝y₁＋y₂＝1，f (1)＝2－，　　，
相加得
　　　　 (n－1個(gè)1)∴．------------(8分)
(3)解：
　　   --------------------（10分）　　　Û　　　∵≥8，當(dāng)且僅當(dāng)n＝4時(shí)，取“＝”   ∴，因此，-------------------（12分）