Question

已知函數f（x）=x²，對任意實數t，g_t（x）=-tx+1．
（1）求函數y=g₃（x）-f（x）的單調區間；
（2）在（0，2]上是單調遞減的，求實數t的取值范圍；
（3）若f（x）＜mg₂（x）對任意恒成立，求正數m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）y=g₃（x）-f（x）=…（1分）
所以函數y的單調遞增區間是，單調遞減區間是．…（3分）
（2）由已知得，，…（4分）
設0＜x₁＜x₂≤2，
則=…（6分）
要使h（x）在（0，2]上是單調遞減的，必須h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立． …（7分）
因為x₂-x₁＞0，0＜x₁x₂＜4，
所以1-tx₁x₂＞0恒成立，即恒成立，…（8分）[
因為，所以，
所以實數t的取值范圍是．…（9分）
（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），①…（10分）
因為m＞0且，所以①式可化為，②…（11分）
要使②式對任意恒成立，只需，（12分）
因為，所以當時，函數取得最小值3，…（12分）
所以，又m＞0，所以，
故正數m的取值范圍是．…（13分）
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0，…（10分）
令f（x）=x²+2mx-m，則f（x）＜0對任意恒成立，…（11分）
只需，即，解得，…（12分）
故正數m的取值范圍是． …（13分）
分析：（1）利用配方法求函數y=g₃（x）-f（x）的單調區間；
（2）由已知得，，利用單調性的定義，可知要使h（x）在（0，2]上是單調遞減的，必須h（x₁）-h（x₂）＞0恒成立，從而只需1-tx₁x₂＞0恒成立，即恒成立，故可求實數t的取值范圍；（3）解法一：由f（x）＜mg₂（x），得x²＜m（-2x+1），分離參數可得，從而問題轉化為，，利用配方法可求函數的最小值3，故可求正數m的取值范圍；
解法二：由f（x）＜mg₂（x），得x²+2mx-m＜0．構造f（x）=x²+2mx-m，則f（x）＜0對任意恒成立，只需，即，從而可求正數m的取值范圍．
點評：本題考查的重點是求參數的范圍問題，考查恒成立問題，考查函數的單調區間，解題的關鍵是利用分離參數法，進而求函數的最值．